Subspace (부분 공간)

subspace $H$는 선형결합에 닫혀있는 (closed under linear combination) $\mathbb{R}^n$의 subset이다.

선형결합에 닫혀있다 라는 것은…

• “subspace내의 n차원 벡터들끼리 선형 결합 연산이 성립하면서 그 결과 또한 그 공간에 속한다”는 의미이다.
• 그렇기에 zero vector를 무조건 포함해야 한다.
• Span은 주어진 벡터들의 가능한 모든 선형결합에 대한 결과 벡터들을 하나의 공간에 몰아넣은 것이기 때문에 무조건 선형 결합에 닫혀있고, 따라서 언제나 subspace이다. → 따라서 span과 subspace를 거의 비슷한 개념으로 이해하여도 좋다.

Basis (기저) of a Subspace

a basis of a subspace H는 다음 두 조건을 만족하는 벡터들의 집합이다.

1. 주어진 subspace H를 완전히 span한다.
2. 선형 독립이다.

예시 1)

$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

• 이 벡터들의 조합으로 $\mathbb{R}^3$전체를 span할 수 있다.
• 세 벡터는 선형 독립이다.

⇒ 이 벡터 집합은 $\mathbb{R}^3$의 basis이다.

예시 2)

subspace $H = Span(\bold{v}_1, \bold{v}_2, \bold{v}_3)$ 에서 $\bold{v}_1$과 $\bold{v}_2$는 선형 독립으로, $Span(\bold{v}_1, \bold{v}_2)$가 plane을 형성하고, $\bold{v}_3 = 2\bold{v}_1 + 3\bold{v}_2$일 때

• $\bold{v}_3$은 $Span(\bold{v}_1, \bold{v}_2)$에 속하므로 $Span(\bold{v}_1, \bold{v}_2)$는 $Span(\bold{v}_1, \bold{v}_2, \bold{v}_3)$ 과 같다.
• 따라서 $\{ \bold{v}_1, \bold{v}_2 \}$는 $H$의 basis이지만 $\{ \bold{v}_1, \bold{v}_2, \bold{v}_3 \}$는 아니다.

basis는 유일하지 않다.

위의 예시 1)을 다시 보자.

$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ : 빨간색 벡터 $\begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}$ : 파란색 벡터