$\bold{v}_1$부터 벡터를 하나씩 추가한다고 생각했을 때, 지금 추가할 벡터 $\bold{v}_j$가 $Span\{\bold{v}_1, \bold{v}2, …, \bold{v}{j-1}\}$에 속하지 않는다는 것이다.
즉 벡터 집합 내의 어떠한 원소도 나머지 원소들의 선형결합으로 나타낼 수 없다.
선형 결합 / vector equation / matrix multiplication의 다양한 관점 에서 다음과 같은 vector equation의 해는 $\bold{b}$가 $Span\{\bold{a}_1, \bold{a}_2, \bold{a}_3\}$에 속해야 존재한다고 했다.
$\begin{bmatrix} 60\\65\\55\end{bmatrix}x_1+\begin{bmatrix} 5.5\\5.0\\6.0\end{bmatrix}x_2+\begin{bmatrix} 1\\0\\1\end{bmatrix}x_3 = \begin{bmatrix} 66\\74\\78\end{bmatrix}$
$\bold{a}_1 x_1 + \bold{a}_2 x_2 + \bold{a}_3 x_3 = \bold{b}$
그렇다면 해가 하나만 존재하는지는 어떻게 알 수 있을까?
답을 먼저 말하자면 $\bold{a}_1, \bold{a}_2, \bold{a}_3$이 선형 독립 (linearly independent)이어야 해가 유일하다.
반대로 선형 종속(linearly dependent)이면 해는 무수히 많다.
선형 독립과 선형 종속에 대해 조금 더 자세히 알아보자.
선형독립의 정의는 다음과 같다.
벡터집합 $\bold{v}_1, \bold{v}_2, …, \bold{v}_p \in \mathbb{R}^n$ 와 실수 $x_1, x_2, …, x_p$ 가 주어졌을 때 $\bold{v}_1 x_1 + \bold{v}_2 x_2 + … + \bold{v}_p x_p = 0$을 만족하는 해가 $x_1 = x_2 = … = x_p = 0$으로 유일할 때 주어진 벡터 집합은 선형독립이라고 한다.
이를 좀 더 직관적으로 표현하면
$\bold{v}_1$부터 벡터를 하나씩 추가한다고 생각했을 때, 지금 추가할 벡터 $\bold{v}_j$가 $Span\{\bold{v}_1, \bold{v}2, …, \bold{v}{j-1}\}$에 속하지 않는다는 것이다.
즉 벡터 집합 내의 어떠한 원소도 나머지 원소들의 선형결합으로 나타낼 수 없다.
선형 종속은 그 반대라고 생각하면 된다.
벡터집합 $\bold{v}_1, \bold{v}_2, …, \bold{v}_p \in \mathbb{R}^n$ 와 실수 $x_1, x_2, …, x_p$ 가 주어졌을 때 $\bold{v}_1 x_1 + \bold{v}_2 x_2 + … + \bold{v}_p x_p = 0$을 만족하는 해가 $x_1 = x_2 = … = x_p = 0$ 외의 해가 존재할 때 주어진 벡터 집합은 선형종속이라고 한다.
$\bold{v}_1$부터 벡터를 하나씩 추가한다고 생각했을 때, 지금 추가할 벡터 $\bold{v}_j$가 $Span\{\bold{v}_1, \bold{v}2, …, \bold{v}{j-1}\}$에 속함
세 벡터의 span이 같은 평면
벡터 집합 내의 원소 중 적어도 하나는 나머지 원소들의 선형 결합으로 나타낼 수 있다.
⇒ n=3이라고 생각을 했을 때, 첫번째 벡터를 추가했을 때 그 span은 line이다. 두번째 벡터를 첫번째 벡터에 독립이도록 추가했을 때 두 벡터의 span은 평면이다. 세번째 벡터를 나머지 두 벡터에 독립이 되도록 추가했을 때 세 벡터의 span은 3차원 공간이다. 4번째 벡터를 3차원 공간을 벗어나도록 추가 할 수가 없다.