※ 주재걸 교수님의 인공지능을 위한 선형대수 강좌를 기반으로 작성되었습니다

선형결합 (Linear Combinations)

주어진 벡터 $\bold{v}_1, \bold{v}_2, ...,\bold{v}_p$ in $\mathbb{R}^n$ 와 스칼라 $c_1, c_2, … , c_p$에 대해

$$ c_1\bold{v}_1+c_2\bold{v}_2 + c_3\bold{v}_3 + ... + c_p\bold{v}_p $$

를 $\bold{v}_1, \bold{v}_2, ...,\bold{v}_p$의 coefficients $c_1, c_2, … , c_p$와의 linear combiation이라 한다.

• coefficients는 weights라고 할 수도 있으며, 스칼라값이다. zero를 포함한 모든 실수가 가능하다.
• coefficients가 스칼라값이기에 선형결합의 결과도 $\in \mathbb{R}^n$

matrix equation을 vector equation으로 표현하기

이전 글의 예시

$\begin{bmatrix} 60&5.5&1 \\ 65&5.0&0 \\ 55&6.0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 66 \\ 74 \\ 78 \end{bmatrix}$는 matrix equation $A\bold{x} = \bold{b}$이다.

이는 vector equation (벡터방정식)으로 변환될 수 있다

$\begin{bmatrix} 60\\65\\55\end{bmatrix}x_1+\begin{bmatrix} 5.5\\5.0\\6.0\end{bmatrix}x_2+\begin{bmatrix} 1\\0\\1\end{bmatrix}x_3 = \begin{bmatrix} 66\\74\\78\end{bmatrix}$

⇒

$60 x_1 + 5.5x_2+ 1x_3 = 66$ $66 x_1 + 5.0x_2+ 0x_3 = 74$ $55 x_1 + 6.0x_2+ 1x_3 = 78$

이는 다음과 같은 선형결합의 형태로 볼 수 있다

$\bold{a}_1 x_1 + \bold{a}_2 x_2 + \bold{a}_3 x_3 = \bold{b}$

이 vector equation을 고려했을 때 $A\bold{x} = \bold{b}$ 의 해는 언제 존재한다고 할 수 있을까?

Span

이 내용에 대해서는 이전 글에서 다뤘다

span, basis, subspace (+ dimension, linear independence)